分子动力学（MD）模拟的可靠性从根本上取决于势函数（interatomic potential）的精度。势函数以解析形式描述原子间的相互作用能量与受力，是对量子力学势能面的经验化拟合。常见势函数家族包括：用于惰性气体与分子晶体的 Lennard-Jones（LJ）势、用于金属与合金的嵌入原子方法（EAM）势、以及 Tersoff、ReaxFF 等反应类势。理解各种势函数的数学形式、物理图像与适用边界，是开展大规模原子模拟的前提。
本项目的科学问题是：如何从势函数的能量表达式出发，推导原子受力、平衡间距、势阱深度等关键量？LJ 势与 EAM 势分别适用于哪类体系、各自有哪些参数标定方法？这些问题直接决定 MD 模拟结果的物理意义。
LJ 势的数学形式为 U(r) = 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶]，其中 σ 为势能过零点的距离，ε 为势阱深度。前一项描述短程排斥（Pauli 排斥），后一项描述长程吸引（范德华色散）。对 U(r) 求导可得原子受力 F(r) = −dU/dr = 24ε/r [2(σ/r)¹² − (σ/r)⁶]。令 dU/dr = 0 可得平衡间距 r_m = 2^{1/6}σ，此时势能最小值为 −ε。以氩气为例，常用参数 ε = 0.0103 eV、σ = 3.405 Å，据此可以估算液氩的平衡距离与结合能。
金属键的本质是自由电子气的胶结作用，简单的对势无法描述。EAM 将原子总能量写为 E = Σᵢ Fᵢ(ρᵢ) + ½Σᵢⱼ φᵢⱼ(rᵢⱼ)，其中 ρᵢ 为 i 原子处的局域电子密度（由邻居原子叠加），Fᵢ(ρᵢ) 为嵌入能（非对势项），φᵢⱼ 为短程排斥对势。嵌入能通常随电子密度增大而非线性变化，体现多体效应，这是 EAM 能正确描述金属弹性常数、空位形成能与表面性质的关键。
势函数参数通过对第一性原理数据或实验性质进行拟合获得：LJ 参数可由气相粘度、第二维里系数拟合；EAM 参数则拟合晶格常数、弹性常数、内聚能、层错能与声子色散等。拟合目标函数为模拟值与目标值的加权最小二乘。
图 2 的左面板（a）给出约化坐标下 LJ 势能曲线与受力曲线。势能在 r < r_m 区域急剧上升（排斥主导），在 r = r_m = 2^{1/6}σ 处达到最小值 −ε（标注于图中），随后缓慢趋近于零（吸引主导）。受力曲线在 r_m 之前为正值（排斥力，指向增大间距方向），越过 r_m 后变为负值（吸引力）。曲线交点与势能极值点的对应关系直观验证了 F = −dU/dr。该图像给出了 LJ 势”短程排斥、中程吸引、平衡点稳定”的完整物理图像。
图 2 的右面板（b）给出 EAM 嵌入能 F(ρ) 随局域电子密度的变化曲线。嵌入能随电子密度增大而单调下降并逐渐趋缓，说明金属原子嵌入电子密度高的环境时能量降低，这定量描述了金属键的胶结本质。与 LJ 对势不同，嵌入能体现的是单个原子对周围电子密度的非局域响应，其存在使 EAM 能正确重现金属的体弹性模量与表面弛豫，这是对势无法做到的。
两面板结合，左面板展示了双体对势的经典特征，右面板展示了多体势的嵌入能机制，共同构成势函数理论的完整图景，为后续 MD 模拟的势函数选择提供了理论依据。
本项目系统推导并数值验证了 LJ 势的受力公式（F = 24ε/r[2(σ/r)¹²−(σ/r)⁶]）、平衡间距 r_m = 2^{1/6}σ 与势阱深度 ε，并分析了 EAM 嵌入能的多体效应。案例图以 LJ 势能/受力曲线与 EAM 嵌入能曲线双面板呈现。
后续可拓展：(1) 对真实材料进行势函数参数拟合与验证；(2) 对比 LJ、EAM、Tersoff 势在界面问题中的表现；(3) 结合机器学习势（如 NEP、DP）讨论新一代势函数的发展趋势。
