梁是最基本的承弯构件，广泛存在于建筑楼板、桥梁主梁、机械轴与起重机结构中。梁在外载荷作用下产生弯曲变形与内力（弯矩、剪力），设计需同时控制强度（最大弯矩处的弯曲应力）与刚度（最大挠度）。简支梁在均布荷载下的弯矩与挠度可由欧拉-伯努利梁理论解析求解，是结构力学教学与工程校核的经典问题。
有限元分析（FEA）将梁离散为梁单元，可自动处理复杂载荷、变截面与多跨情况，其精度可通过与解析解对比进行验证。本项目以一根跨度为 3 m、受均布荷载的简支钢梁为对象，用有限元法计算弯矩图与挠度曲线，并与欧拉-伯努利梁理论解对比，验证有限元模型的正确性。
对线弹性细长梁，弯矩与挠度的关系为 EI·d²w/dx² = M(x)。简支梁受均布荷载 w 时，支座反力 R = wL/2，弯矩分布为 M(x) = wLx/2 − wx²/2，为抛物线，跨中最大 M_max = wL²/8。挠度由两次积分得 w(x) = wx/(24EI)(L³ − 2Lx² + x³)，跨中最大挠度 w_max = 5wL⁴/(384EI)。
梁单元（Euler-Bernoulli 梁单元）每个节点含 2 个自由度（横向位移与转角），单元刚度矩阵由三次形函数导出。整体求解获得节点位移与转角，再通过单元内插与曲率-弯矩关系得到弯矩分布。梁单元仅需沿轴线划分，计算量远小于实体单元，且能精确复现理论解。
梁单元是精确单元——对均布荷载作用下的等截面梁，即使单元数较少，节点挠度也能精确等于理论解（形函数为三次多项式，而均布荷载下挠度正是三次多项式）。因此 FEA 与理论解的最大偏差通常小于 1%，这一对比是验证有限元模型的标准手段。
图 17 的左面板给出简支梁的弯矩图（蓝色曲线与填充）。弯矩从两端支座处为零开始，向跨中抛物线增长，跨中达到最大值 M_max = wL²/8 = 10×9/8 = 11.25 kN·m（红色标注），呈对称分布。弯矩图为正值（下缘受拉），符合简支梁受竖向均布荷载的典型特征。弯矩分布可直接用于强度校核：跨中截面弯曲应力 σ = M_max·y/I = 11.25×10³×0.1/(3.1×10⁻⁵) ≈ 36 MPa（按截面高度 200 mm 估算），远低于钢材屈服强度，强度满足要求。弯矩图还揭示了控制截面位置（跨中），为抗弯设计提供依据。
图 17 的右面板给出挠度曲线：欧拉-伯努利理论解（红色实线）与有限元节点结果（蓝色圆点）的对比。挠度从两端支座处为零向跨中增大，跨中最大挠度 w_max = 5wL⁴/(384EI) = 5×10⁴×81/(384×2.1×10¹¹×3.1×10⁻⁵) ≈ 4.2 mm（红色标注）。FEA 节点值与理论曲线几乎完全重合，最大偏差小于 1%，验证了有限元模型的精度。4.2 mm 相对跨度 3 m 为 L/714，满足一般楼面梁挠度限值（L/300–L/400），刚度充足。理论解与 FEA 的高度一致为后续复杂载荷、变截面梁分析建立了可信的数值模型基础。
两面板结合，左面板给出弯矩分布（强度校核依据），右面板给出挠度曲线（刚度校核依据）并完成解析-数值互验，共同构成简支梁弯曲分析的完整流程，展示了有限元方法在梁类结构分析中的可靠性与效率。
本项目对跨长 3 m、均布荷载 10 kN/m 的简支钢梁进行了有限元分析，跨中弯矩 11.25 kN·m、挠度 4.2 mm（L/714），FEA 与欧拉-伯努利理论解偏差小于 1%。案例图以弯矩图与挠度曲线双面板呈现。
后续可拓展：(1) 引入集中荷载、移动荷载与多跨连续梁工况，拓展分析能力；(2) 考虑剪切变形（铁木辛柯梁）对短粗梁的影响；(3) 进行梁的屈曲与振动模态分析，评估稳定性与动力特性。
